2007年12月18日火曜日

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「12」と「18」という数字

 


12」と「18」という数字には、個人的に昔から慣れ親しんでいるんですが、何ともバランスの良さを感じるのですね。もっとも、この表現は正確ではないのですが、うまい表現が思いつかないもので。

例えば、「12」という数字。これは言わずと知れた黄道十二宮の数であり、また、4 つの約数を持つ最小の数でもありますね(1 と 12 を除いて、2 と 3 と 4 と 6 の 4 つ)。

若かりし頃、10 進数に理不尽さを覚えて、代わりに何進数にすればいいのだろう、と真剣に考えたことがありました(確か中学生の頃)。どの辺が理不尽かと言うと、10 という数は 2 と 5 でしか割り切れないですよね。だから 10/3 が整数で表せないとか、10/4 が 2.5 という小数になってしまうわけです。これが美しくないな、と(笑)。

あ、「10 月 3 日」じゃないですよ。「3 分の 10」です。分数が簡単に表記できないのも困ったものですけどね。ああ、これも小泉失政のツケというヤツでしょうか(w

ま、そんなわけで、2 でも 3 でも 4 でも割り切れる 12 という数は、大層美しいものだ、と思っていました。実際に時計の文字盤を見ても、1/6 も 1/4 もしゃっきり割り切れるわけで、「あぁ、美しいなぁ」なんて(笑)。数学はてんでダメだったくせにね(わはは)。

サブライム・バ(違

で、今、改めて Wikipedia の記事「12」を見てみると、「(12 は)最小のサブライム数である」なんて書いてありますね。「サブライム数」なんて言葉は生まれて初めて見たのですが、Wikipedia の「サブライム数」の記事によると、えーと……

サブライム数(-すう、英:sublime number)は自然数で、約数の個数が完全数であり、なおかつ全ての約数の和が別の完全数になるような数である。例えば 12 は約数が 1, 2, 3, 4, 6, 12 と 6 個あり、それらの和は 1+2+3+4+6+12=28 となり、約数の個数および和がともに完全数となるので 12 はサブライム数である。

ついでに。

最小のサブライム数は12であり、他には6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264が知られているだけである。

これってなんか凄くね?(・∀・)

完全無欠の……

ちなみに、完全数ってのは、これも Wikipedia の「完全数」の記事によると、

完全数(かんぜんすう)とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のこと。6 = 1+2+3, 28=1+2+4+7+14 など。

なのだとか。つまり、「12」という数は、約数の数と和がそれぞれ「完全数」になる、極めて稀な(だと思う)数なのだそうです。

そして、今日のもう一つの数、「18」ですね。18 も、多くの数で割り切れそうな印象がありますが、実際に、18 自身を除いた約数の和は 1+2+3+6+9=21 となり、過剰数とされます。過剰数について、Wikipedia の「過剰数」の記事を引用しますと、

過剰数(かじょうすう、英:abundant number)は自然数で、その正の約数の総和が元の数の2倍より大きい数のことである。この過剰数の定義は「その数自身を除く正の約数の総和が元の数より大きくなるような数」と同値である。

ちと省略して、

過剰数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小のものは12である。

過剰数を12から小さい順に列記すると

   12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, ……

なるほどね、12 と 18 はともに過剰数で、一番小さい組み合わせだったわけですね。私が幼心に感じていた「バランスの良さ」というのは、数学的に言えばこうなるのか、という感じです。

なんで「12」と「18」に思い入れがあるんだって? それは……もうおわかりですよね(・v-)<

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